Rayons cosmiques — MicroCosmos

Une pluie venue de l’espace

Les rayons cosmiques primaires, surtout des protons, frappent la haute atmosphère et y produisent des gerbes de particules de courte durée de vie. Ce qui atteint le sol est essentiellement constitué de muons.

Le muon est un cousin lourd de l’électron (environ 200 fois sa masse) qui se désintègre en moyenne au bout de τ = 2,2 µs. Même à la vitesse de la lumière, ils ne peuvent alors parcourir que d= cτ ≈ 0,66 km, c'est-à-dire bien moins que les 10 à 15 km d’air au-dessus de nous. Comment est il possible que l'on compte des muons au niveau de la mer? C'est la théorie de la Relativité qui va nous permettre de résoudre cette énigme.

Au niveau de la mer, il en passe environ un par centimètre carré et par minute. Les muons nous offre donc un objet d'étude de la physique microscopique gratuit, sans danger et présent dans toutes les salles de classe.

Naissance et vol d’un muon (pas à l’échelle).

Les expériences que les élèves rejouent

1912Hess : les vols en ballon révèlent le rayonnement cosmique.

1929Bothe et Kohlhörster : coïncidences entre deux compteurs Geiger.

1930Rossi : premier circuit électronique de coïncidence.

1941Rossi et Hall : désintégration des muons en vol à deux altitudes.

1963Frisch et Smith : la dilatation du temps observée avec les muons.

Expérience A : la distribution angulaire du flux de muons

De la mesure au modèle : on confronte l’hypothèse relativiste aux données du MicroCosmos.

Le MicroCosmos à la surface de la Terre ; un muon arrive avec un angle θ par rapport au zénith depuis la couche supérieure de l’atmosphère, à 10-15 km — À grand θ, le trajet dans l’atmosphère est plus long.

Le dispositif et les mesures

On incline la pile de tubes d’un angle θ par rapport au zénith (support en LEGO® ou support gradué du détecteur autonome) et l’on compte les coïncidences entre les tubes 1 et 2 pendant une heure pour chaque angle.

θ (°)	0	10	20	30	40	50	60	70	80
N12	73	67	63	58	42	33	25	16	10

Incertitudes : u(θ) = 2° ; u(N12) = 4 muons. On observe une nette décroissance de N avec θ.

Schéma : N_i muons entrent dans l’atmosphère ; à la verticale ils parcourent h, avec un angle θ ils parcourent l = h / cos θ avant d’atteindre le détecteur, qui en compte N(θ) — Le trajet l dans l’atmosphère dépend de θ : l = h / cos θ.

Construire un modèle

Les N_i muons créés en haut de l’atmosphère parcourent l = h / cos θ avant d’atteindre le détecteur. Deux effets se combinent :

l’absorption par l’air, proportionnelle à la longueur du trajet : N_θ ∝ cos θ ;
la désintégration en vol, comme une décroissance radioactive : N_θ ∝ N_i · e^−t/τ, avec t = l / v_muon.

N_θ = N_θ=0 · cos θ · e^{−h / (v_muon · τ · cos θ)}

Avec la durée de vie au repos du muon (τ = 2,196 µs) et un ajustement par curve_fit en Python, ce modèle classique ne décrit pas les données : le flux devrait chuter beaucoup plus vite avec θ.

Graphique N12 en fonction de θ : les points mesurés suivent la courbe verte du modèle relativiste (v = 0,99863 c, γ = 19,1) et s’écartent de la courbe bleue du modèle classique — Points mesurés, modèle classique (bleu) et modèle relativiste (vert), pour h = 12 km.

Le modèle relativiste

On remplace τ par γτ (dilatation du temps) :

N_θ = N_θ=0 · cos θ · e^{−h / (v_muon · γτ · cos θ)}
avec γ = 1 / √(1 − v²_muon / c²)

L’ajustement donne v_muon = 0,998 63 c, soit γ = 19,1, du même ordre que Frisch et Smith (γ ≈ 9). Des mesures plus récentes, avec un détecteur amélioré, donnent v_muon = 0,992 95 c, soit γ = 8,4.

Ce modèle décrit bien les données.

Durée des mesures. Avec 7 cm² de tube, un point de la courbe demande une heure (contre cinq minutes avec un détecteur à scintillateur du type du Cosmodétecteur de Sciences à l'école). On peut compenser cet allongement de la durée soit avec dix détecteurs en classe, un angle par groupe pendant une heure, soit d'une manière encore plus économique en lançant une mesure par jour avec des élèves volontaires.

Expérience B : la dilatation du temps entre la mer et le sommet

Dans l’esprit de Rossi et Hall (1941) puis de Frisch et Smith (1963), des élèves (Olympiades de Physique) ont fait fonctionner le MicroCosmos sur batterie à Caen (41 m) puis à l’Alpe d’Huez (1 850 m).

Les muons se désintégrant en vol, il doit y en avoir davantage en altitude : sur les 1 809 m qui séparent les deux sites, une partie d’entre eux disparaît avant d’atteindre Caen. Mais combien ? La réponse dépend de la façon dont s’écoule le temps pour le muon.

Comptage à deux altitudes avec le même détecteur.

Les mesures

Le comptage de Caen est corrigé des 15 % de muons absorbés par l’air supplémentaire : 2,228 / 0,85 = 2,62 coïncidences par 2 min.

Deux prédictions théoriques

Physique classique

temps absolu, le même pour tout observateur

Durée de vie propre du muon : τ₀ ≈ 2,2 µs
Temps de trajet : t = Δh / v

N(h) / N(0) = exp( t / τ₀ )

Sans dilatation du temps, une très grande partie des muons devrait se désintégrer avant d’atteindre Caen.

rapport attendu ≈ 16

Relativité restreinte

le temps se dilate pour un observateur au sol

Durée de vie « vue du sol » : τ = γ · τ₀
Facteur de Lorentz : γ = 1 / √(1 − v²/c²)

N(h) / N(0) = exp( t / (γ · τ₀) )

Vu du sol, l’horloge interne du muon « tourne plus lentement » : il vit plus longtemps, et beaucoup moins de muons sont perdus en route.

rapport attendu ≈ 1,63

Confrontation à l’expérience

Rapport mesuré : 4,20 / 2,62 = 1,60.

Conclusion. La valeur mesurée (1,60) est très proche de la prédiction relativiste (1,63) et très éloignée de la prédiction classique (16) : l’expérience confirme la relativité restreinte.

En classe

Statistique de comptage

Les coïncidences suivent une loi de Poisson : histogrammes, incertitude ± √N, écart-type proche de √moyenne. Le logiciel trace l’histogramme et la loi de Poisson de même moyenne.

Sortir du labo

Sur une batterie USB avec une carte micro-SD, le détecteur fonctionne seul : montagne, avion, ou bocal étanche au fond d’une piscine pour tester l’absorption par l’eau.

Les limites

Des tubes Geiger ne permettent pas de mesurer directement la durée de vie du muon (il faut des muons qui s’arrêtent dans un scintillateur).

Programmes et documents

L’article est proposé pour un usage limité : préférez la promotion du BUP :-)

Les rayons cosmiques